domingo, 28 de diciembre de 2014

Funciones trigonométricas inversas

¿Qué es una función? 

Una función es una relación entre dos conjuntos. Para nosotros,estos conjuntos estarán compuestos por números. Para que nos entendamos, una función conecta números de un conjunto con los del otro.
Por ejemplo, seno es una función que "conecta" el 90 con el 1 porque

 seno(90) = 1,
 también "conecta" el 30 con el 0.5 porque

seno(30) = 0.5,

etcétera.
                         
                                                        ¿Qué es una función inversa? 

Una función inversa de otra es aquella que relaciona los mismos números pero al revés, es decir, en vez de conectar el 90 con el 1, conectará el 1 con el 90 y en vez de "conectar" en 30 con el 0.5 lo hará al revecs. Buscamos una función, llamémlosla f, tale que:

f(1) = 90
f(0.5) = 30
etcétera.
Esa f es la inversa del seno, o arcoseno.

En la calculadora, si conocemos el ángulo para calcular el seno pulsamos
y después el ángulo del cual queremos calcular el seno,

Si, por el contrario queremos hallar el ángulo y conocemos el valor del seno deberemos pulsar 

para calcular la inversa del seno.


Puedes comprobarlo pulsando: sin + 90 = 1, sin + 30 = 0.5 dándonos el valor del seno o
SHIFF + sin 1 = 90º, SHIF + sin + 0.5 = 30º dándonos el valor del ángulo.



viernes, 26 de diciembre de 2014

Resolver un triángulo

El concepto de resolver un triángulo significa hallar el valor de todos sus lados y ángulos. Para ello, se pueden utilizar tanto las estudiadas razones trigonométricas como el teorema de Pitágoras y otras propiedades de los triángulos, por ejemplo, que la suma de todos sus ángulos siempre es 180º. 

Veamos con un ejemplo como utilizando estas tres se resuelve un triángulo:

El lado que falta es un cateto y lo llamamos x. Para hallarlo utilizaremos el teorema de pitágoras (lo recuerdo: el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los catetos cada uno de ellos al cuadrado).
10²=6²+x²
Pasams el 6² restando
x²=10²-6²=100-36=64
Y haciendo la raíz cuadrada
x=8
Así que de momento

Hemos encontrado todos los lados. Hallemos primero alfa. Si miramos alfa ¿cuál es el cateto contiguo? El cateto contiguo es aquel que está pegado a alfa, es decir, 8. ¿cuál es el cateto opuesto? Es el que tiene en frente, es decir 6.
Como tenemos todos los lados del triángulo podríamos usar cualquiera de las fórmulas trigonométricas para hallar alfa. Vamos a usar las tres que conocemos para comprobar que nos da el mismo valor.

Con el seno:

seno (α) = cateto opuesto / hipotenusa = 6/10 = 0.6

Para hallar el valor de alfa  (α) hay que calcular la inversa del seno, esto se hace pulsando en la calculadora
lo que arroja un resultado de α= 36.87º = 36º52'11.63''.

Con el coseno:

cos (α) = cateto contiguo / hipotenusa = 8/10 = 0.8

α = SHIFT + cos + 0.8 = 36.87º = 36º52'11.63'' (compruébalo).

Dejamos al lector que lo compruebe también para la tangente.

De momento, tenemos que el ángulo  α= 36.87 y, además, sabemos que uno de los ángulos vale 90º. Podríamos utilizar de nuevo las razones trigonométricas para hallar β pero vamos a utilizar que la suma de los ángulos de un triángulo es 180, de manera que 

β = 180 - 90 - 36.87 = 53.13º = 53º7'48'',

quedando el ejercicio resuelto:

jueves, 25 de diciembre de 2014

Relación pitagórica

Una relación fundamental de la trigonometría se basa en que el cuadrado del coseno de cualquier ángulo mas el cuadrado del seno de este mismo ángulo siempre resulta 1, es decir, 
(cosβ)² + (senβ)² = 1, 

sin embargo, por notación esto es lo mismo que 


cos²β + sen²β = 1.  

Pruébalo con la calculadora: 


cos²(20)+sen²(20) = ?
cos²(33)+sen²(33) = ?
cos²(145)+sen²(145) = ?

Es decir, para cualquier valor del ángulo. Para definir bien este concepto y para introducir algo más de notación hay un símbolo matemático que significa "para todo" y se escribe   , así que para ser correctos se dice que 


 cos²β + sen²β = 1   β.

Esta afirmación se denomina relación pitagórica porque utiliza el teorema de pitágoras para su demostración.

Si nos fijamos en este triángulo el teorema de pitágoras dice que


AB² = BC²+AC²


Porque la hipotenusa es AB y los catetos son BC y AC.

Lo que queremos averiguar es cuánto vale cos²β + sen²β. Por la definición de coseno y de seno: 

                               cosβ = cateto contiguo / hipotenusa = AC / AB

                                senβ = cateto opuesto / hipotenusa = BC  / AB

Así que 

                         cos²β + sen²β. = AC² /AB² + BC²  /AB² = AC² + BC² / AB² 

pero acabábamos de ver que, por el teorema de Pitágoras el denominador 

                                                    AC² + BC² = AB²  

de manera que 

             cos²β + sen²β. = AC² + BC² / AB²  = AB² /AB² = 1,

como queríamos demostrar.


miércoles, 24 de diciembre de 2014

Ley de los senos

La ley de los senos establece que en cualquier triángulo la relación de cualquiera de sus lados al seno del ángulo opuesto es constante.

Escrita como fórmula, la ley de los senos es la siguiente:

a / sen A = b / sen B = c / sen C 


Veamos alguna aplicación:

1)Resolver el siguiente triángulo:
                                                 
El tercer ángulo del triángulo es
                                                 C = 180° – A – B = 180° – 30° – 20 ° = 130°
Por la ley de los senos,
                                                   
 Por las propiedades de las proporciones
              
2) Resolver el siguiente triángulo:
       
       El tercer ángulo del triángulo es:
              C = 180° – A – B = 180° – 42° – 75° = 63°
       Por la ley de los senos,
              
       Por las propiedades de las proporciones
               y 


domingo, 21 de diciembre de 2014

Usando las razones trigonométricas

En una entrada anterior ya  vimos que


sen αcateto opuesto / hipotenusa = co / h
cos αcateto contiguo / hipotenusa = cc /h

tg αcateto opuesto / cateto contiguo = co /cc


Vamos a utilizar las razones trigonométricas para ver cómo se resuelven algunos triángulos rectángulos:

* Dado un lado y un ángulo:
En este caso nos dan el ángulo y la hipotenusa de manera que podemos usar el seno y el coseno para hallar los lados que faltan:


                                       sen 26cateto opuesto / hipotenusa = co / 45 

pasamos el 45 multiplicando de manera que

                                                         co=45*sen26= 19.73
Ya tenemos:

Ahora hay varias maneras de proceder. Podríamos calcular el cateto contiguo al ángulo de 26º utilizando la fórmula del coseno, esto es:
             
cos 26 = cateto contiguo / hipotenusa = cc / 45

pasamos el 45 multiplicando de manera que

cc = 45*cos 26 = 40.44.

O podríamos utilizar el teorema de pitágoras: la hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los catetos cada uno de ellos al cuadrado, esto es,

45² = 19.73² + cc²

cc² = 45²-19.73² 

y haciendo la raíz cuadrada obtenemos el mismo resultado

cc = 40.44.

Nos será indiferente utilizar un método u otro.

sábado, 20 de diciembre de 2014

Unidades de medida de los ángulos: grados sexagesimales y radianes

Se aceptan tres formas para medir ángulos: grados sexagesimales, radianes y grados centesimales. ¿Qué significan estas medidas?

Los grados sexagesimales son los que habitualmente se utilizan y se contruyen dividiendo la circunferencia en 360 partes iguales:
                                                
Cuando se miden los grados de esta manera, ¿cómo se respresentan las medidas que están entre 30º y 31º? Se representan con grados, minutos y segundos. Podríamos escribir 30.5º = 30º30' porque, al igual que con las horas, 1º = 60' y 0.5º = 30'
Para comprobarlo podeis escribir en la calculadora científica con la tecla
                                                             
30º30' = 30 pulsa la tecla, 30 pulsa la tecla y os saldrá 30º30º0. Si volvéis a pulsa la tecla os saldrá su equivalencia en números decimales 30.5
Asimismo, también se pueden convertir las medidas decimales en su respectiva forma sexagesimal. Así, por ejemplo, si escribimos 30.7º lo que queremos decir de forma sexagesimal es 30º42', esto es, si dividimos el espacio entre 30º y 31º en 60 partes cogemos 42.

Por otra parte, los radianes dividen la circunferencia de un modo distinto. Un radián es exactamente un ángulo cuyo arco (en azul) mide lo mismo que el radio de la circunferencia.

                                                       
Como la longitud de una circunferencia es 2πr (dos por pi por el radio de la circunferencia), el ángulo que comprende toda la circunferencia, que en grados son 360º, en radianes son 2πr. Aquí se pueden observar las medidas en radianes para una circunferencia de radio 1.
Así, para pasar de grados sexagesimales a radianes tan solo hace falta seguir una regla de tres:
1) ¿Cuántos radianes son 90º?
 2π = 360
  x   =  90
Luego x = 90* 2π/360 = π/2 radianes

2) ¿Cuántos grado son  radianes ?
      2π    =  360
 5π/6   =  x
Luego x = (5*π*360) / (6*2*π) = 5*360  /  6*2 = 150º



Seno y Coseno... tanto monta

                                  

El chiste:
A: Estoy algo preocupada por la obsesión de Math por encontrar a diferencia entre seno y coseno
B: No te preoocupes. Solo es una fase. jejeje

Muy gracioso y... cierto también.
No es mi intención confundir al lector cuando digo que seno  y coseno son lo mismo sino explicar por qué se dice esto.
Cuando representamos la función sen(x) en una gráfica de manera que le damos todos los valores posibles a x y vemos qué se obtiene para sen(x) obtenemos esto:


donde si representamos los puntos A = sen(0)=0, B= sen(1) = 0.84, C=sen(2) = 0.92, D= sen(3)=0.14, E= sen(4) = -0.76 y F=sen(5) = -0.96 se puede obtener una vista más clara de lo que digo.

Sin embargo, cuando del mismo modo representamos la función coseno(x) se obtiene:

que no es otra cosa que un "seno desplazado" con un "desplazamiento de fase" (de ahí el chiste).
¿Cuánto se desplaza? Se desplaza exactamente una distancia de Π/2, es decir, si representamos ahora sen(x+Π/2):
¿Sorprendente? ¡Se obtiene lo mismo! Pruéblao con tu calculadora.

sen(x + Π/2) = cos(x) para todo x.

Esto quiere decir que: sen(1 + Π/2) = cos(1) , sen(2.33 + Π/2) = cos(2.33) ... y un lagro etcétera (tan largo como la cantidad de números reales que existen)

lunes, 1 de diciembre de 2014

Razones trigonométricas. Regla nemoténcnica

Un triángulo es la reunión de 3 segumentos determinados por 3 puntos no colineales.

                                         
Todos los triángulos tiene 3 ángulos internos, como su propio nombre indica.

Los triángulos para los cuales se definen las razones trigonométricas son los triángulos rectángulos, esto es, aquellos que tienen un ángulo recto (de 90º)

                                

Los triángulos rectángulos tienen 3 lados: hipotenusa (es el más largo y, además, el que está en frente del ángulo recto), y dos catetos. 
Si ahora nos fijamos en uno de los ángulos agudos, uno de los catetos será el contiguo (el que junto con la hipotenusa define el ángulo) y el otro será el opuesto.


Los ángulos se denotan con letras griegas: alfa, beta...
Las razones trigonométricas que vamos a estudiar son seno, coseno y tangente y se calculan así:

sen α= cateto opuesto / hipotenusa = co / h

cos αcateto contiguo / hipotenusa = cc /h

tg αcateto opuesto / cateto contiguo = co /cc

Puede que al lector le parezca rebuscado pero yo siempre me acuerdo de que para el SEno se utiliza CO = cateto opuesto y para el COseno se utiliza cc = cateto contiguo. Es decir, es lo "contrario" a lo que debería ser porque COseno no va con CO=cateto opuesto. ¡Y esa es mi regla!

¿Cómo nace la trigonometría?

Cuando los alumnos en el instituto descubren la trigonometría desconocen que podrían estar estudiando algo que se conoce desde hace casi 4000 años.

Existen evidencias en forma de tablillas de arcilla de que los babilonos, en torno al 1900 a.C ya intuían la relevancia de la trigonometría. Un ejemplo es la tabilla denominada Plimpton 322 
que muestra alugnas  ternas pitagóricas (nombre que se le concede en la actualidad a las ternas de números que son catetos e hipotenusa de triángulos rectángulos) y una columna de números que puede ser interpretada como una tabla de funciones trigonométricas.
                                       
De forma más o menos independiente, los egipcios también desean medir ángulos. Ellos establecieron las medidas en grados, minutos y segundos y en el Papiro de Rhind se encuentra el problema: 
Si es una pirámide de 250 codos de alto y el lado de su base de 360 codos de largo, ¿cuál es su seked (inclinación)?
              

Muy parecido a los problemas que los alumnos de 4º de ESO resuelven cuando estudian trigonometría.