jueves, 25 de diciembre de 2014

Relación pitagórica

Una relación fundamental de la trigonometría se basa en que el cuadrado del coseno de cualquier ángulo mas el cuadrado del seno de este mismo ángulo siempre resulta 1, es decir, 
(cosβ)² + (senβ)² = 1, 

sin embargo, por notación esto es lo mismo que 


cos²β + sen²β = 1.  

Pruébalo con la calculadora: 


cos²(20)+sen²(20) = ?
cos²(33)+sen²(33) = ?
cos²(145)+sen²(145) = ?

Es decir, para cualquier valor del ángulo. Para definir bien este concepto y para introducir algo más de notación hay un símbolo matemático que significa "para todo" y se escribe   , así que para ser correctos se dice que 


 cos²β + sen²β = 1   β.

Esta afirmación se denomina relación pitagórica porque utiliza el teorema de pitágoras para su demostración.

Si nos fijamos en este triángulo el teorema de pitágoras dice que


AB² = BC²+AC²


Porque la hipotenusa es AB y los catetos son BC y AC.

Lo que queremos averiguar es cuánto vale cos²β + sen²β. Por la definición de coseno y de seno: 

                               cosβ = cateto contiguo / hipotenusa = AC / AB

                                senβ = cateto opuesto / hipotenusa = BC  / AB

Así que 

                         cos²β + sen²β. = AC² /AB² + BC²  /AB² = AC² + BC² / AB² 

pero acabábamos de ver que, por el teorema de Pitágoras el denominador 

                                                    AC² + BC² = AB²  

de manera que 

             cos²β + sen²β. = AC² + BC² / AB²  = AB² /AB² = 1,

como queríamos demostrar.


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